ALGORITMA

PEMBAHASAN

LOGARITMA

A.      PENGERTIAN LOGARITMA

Logaritma adalah invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang diketahui.

Definisi:  Logaritma Bilangan

Misalkan x adalah bilangan positif (x  > 0) dan a adalah bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (a > 0 dan a ≠ 1), maka:

alog x = n  jika dan hanya jika an = x

Keterangan:

a   =   Bilangan pokok (basis logaritma).

          Jika a = 10, bilangan pokok ini biasanya tidak dituliskan.

          Contoh: ¹⁰log 3 ditulis log 3.

x   =   Numerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya.

n   =   Hasil logaritma.

(^alog x dibaca: logaritma x dengan basis a)

Bentuk aⁿ = x dan n =  ^alog x merupakan dua pernyataan yang ekuivalen (setara), aⁿ = x disebut bentuk eksponensial dan n = ^alog x disebut bentuk logaritmik.

Contoh:

1.        Nyatakan tiap bentuk pangkat berikut ke dalam bentuk logaritma!

a)      5² = 25                        b)  3⁰ = 1                     c)  3^-2 =

2.        Nyatakan logaritma berikut dalam bentuk pangkat.

a)      ³log 9 = 2                          b)  ²log  = -3               c)  ²log 32 = 6 

Jawab:

1.        a)  5² = 25     ⇔  ⁵log 25 = 2

b)  3⁰ = 1       ⇔  ³log 1 = 0

c)  3³ = 9       ⇔  ³log 27 = 3

2.        a)  ³log 9 = 2           ⇔ 9 = 3²           

b)  ²log  = -3        ⇔  = 2^-3

c)  ²log 32 = 6       ⇔ 32 = 2⁶

B.       MENENTUKAN LOGARITMA SUATU BILANGAN MENGGUNA-KAN TABEL LOGARITMA

Menentukan logaritma suatu bilangan dengan menggunakan definisi ^alog x = n ↔ aⁿ = x hanya dapat dilakukan jika bilangan n dapat diubah menjadi bilangan berpangkat dengan bilangan pokok a. Akan tetapi, untuk mengubah bilangan n menjadi bilangan berpangkat dengan bilangan pokok a kadang-kadang tidak mudah dilakukan. Sehingga diperlukan cara lain, salah satunya yaitu dengan menggunakan tabel logaritma.

a.    Menentukan Logaritma Suatu Bilangan

Untuk keperluan berbagai perhitungan, telah dibuat suatu daftar atau tabel logaritma. Daftar atau tabel logaritma memuat hasil-hasil logaritma suatu bilangan dengan bilangan pokok 10.

Sebelum menentukan nilai logaritma dengan menggunakan tabel, Anda perlu memahami terlebih dahulu hal-hal yang berhubungan dengan tabel logaritma tersebut. Dalam tabel logaritma terdapat kolom-kolom, kolom pertama (disebut kolom N). Dari atas ke bawah memuat bilangan-bilangan yang berurutan mulai dari 0 sampai dengan 1000. Baris judul pada kolom kedua sampai dengan kolom kesebelas dari kiri ke kanan berturut-turut diisi dengan angka 0, 1, ..., 9. Pada kolom-kolom tersebut dari atas ke bawah memuat mantisa, yang terdiri atas 4 angka (digit).

Logaritma suatu bilangan nilainya terdiri atas dua bagian, yaitu karakteristik (bilangan yang terletak di depan koma desimal) dan mantisa (bilangan yang terletak di belakang koma).

Contoh:

log 4,65 = 0,667

karakteristik        mantisa

Besar karakteristik dari logaritma dapat ditentukan berdasarkan nilai numerusnya.

^alog x = n

a.  Jika 1 < x < 10             karakteristiknya 0

b.  Jika 10 < x < 100         karakteristiknya 1

c.  Jika 100 < x < 1000     karakteristiknya 2

Contoh:

Dengan menggunakan tabel logaritma, tentukan:

a. log 2,65

b. log 26,5

c. log 265

Jawab:

N          0          1          2             3             4             5              6             7                 8             9

0                    0000   3010      4771       6021      6990      7782      8451          9031      9542

1       0000   0414   0792      1139       1461      1761      2041      2304          2553      2788

2       3010   3222   3424      3617       3802      3979      4150      4314          4472      4624

3       4771   4914   5051      5158       5315      5441      5563      5682          5798      5911

4       6021   6128   6232      6335       6435      6532      6628      6721          6812      6902

5       6990   7076   7160      7243       7324      7404      7482      7559          7634      7709

6       7782   7853   7924      7993       8062      8129      8195      8261          8325      8388

7       8451   8513   8573      8533       8692      8751      8808      8865          8921      8976

8       9031   9085   9138      9191       9243      9294      9345      9395          9445      9494

9       9542   9590   9638      9638       9731      9777      9823      9868          9912      9956

10     0000   0043   0086      0128       0170      0212      0253      0294          0334      0374

11     0414   0453   0492      0531       0569      0607      0645      0682          0719      0755

12     0792   0828   0864      0899       0934      0969      1004      1038          1072      1106

13     1139   1173   1206      1239       1271      1303      1335      1367          1399      1430

14     1461   1492   1523      1553       1584      1614      1644      1673          1703      1732

15     1761   1790   1818      1847       1875      1903      1931      1959          1987      2014

16     2041   2068   2095      2122       2148      2175      2101      2227          2253      2279

17     2304   2330   2355      2380       2405      2430      2455      2480          2404      2529

18     2553   2577   2601      2625       2648      2672      2695      2718          2742      2765

19     2788   2810   2833      2856       2878      2900      2993      2945          2967      2989

20     3010   3032   3054      3075       3096      3118      3139      3160          3181      3201

21     3222   3243   3263      3284       3304      3324      3345      3365          3385      3304

22     3424   3444   3464      3483       3502      3522      3541      3560          3579      3598

23     3617   3636   3655      3674       3692      3711      3729      3747          3766      3784

24     3802   3820   3838      3856       3874      3892      3909      3927          3945      3962

25     3978   3997   4014      4031       4048      4065      4082      4099          4116      4133

26     4150   4165   4183      4200       4216      4232      4249      4265          4281      4298

27     4314   4330   4346      4362       4378      4393      4409      4425          4440      4456

28     4472   4487   4502      4518       4533      4548      4564      4579          4594      4609

29     4624   4639   4654     4669       4683      4698      4713      4728          4742      4757

30     4771   4785   4800     4814       4829      4843      4857      4871          4886      4900

a.    log 2,65 = ...

Bagian desimalnya (mantisa) diperoleh dari pertemuan antara baris yang memuat angka 26 dan kolom yang memuat angka 5, yaitu 4232.

Karena x = 2, maka karakteristiknya = 0.

Jadi, log 2,65 = 0, 4232.

b.    log 26,5 = ...

Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (a) tersebut.

Karena x = 26, maka karakteristiknya = 1.

Jadi, log 26,5 = 1,4232.

c.    log 265 = ...

Langkah yang dilakukan sama seperti pada bagian (a) dan (b) tersebut.

Karena x = 26, maka karakteristiknya = 2.

Jadi,  log 265 = 2,4232.

b.   Menentukan Antilogaritma Suatu Bilangan

Jika logaritma suatu bilangan diketahui, maka bilangan itu dapat ditentukan dengan menggunakan tabel logaritma. Mencari bilangan dengan cara seperti itu disebut dengan antilogaritma. Jadi, suatu tabel logaritma sekaligus juga merupakan tabel anti logaritma.

Contoh:

Tentukan nilai x dengan menggunakan anti logaritma berikut:

a. log x = 0,2304                      b. log x = 1,2304

Jawab:

a.  log x = 0,2304

Mantisa dari 0,2304 adalah 2304, bilangan 2304 dapat Anda temukan pada pertemuan antara baris yang memuat angka 17 dan kolom yang memuat angka 0. Oleh karena karakteristiknya 0 maka numerusnya adalah satuan.

Karena, log x = 0,2304, maka x = 1,7.

b.  log x = 1,2304

Langkah-langkah yang dilakukan sama seperti pada contoh soal (a), yang membedakan adalah nilai dari karakteristiknya yang memuat angka 1 maka numerusnya adalah puluhan.

Karena log x = 1,2304, maka x = 17.

C.      SIFAT-SIFAT LOGARITMA

a.    Sifat 1

Untuk a > 0, a ≠ 1, berlaku:

alog a = 1 alog 1 = 0 log 10          = 1

Bukti:

o  Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri.

Jadi, a¹ = a ⇔ ^alog a = 1

o  Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu.

Jadi, a⁰ = 1 ⇔ ^alog 1 = 0

o  Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.

Jadi, log 10 = 1

Contoh:

Tentukan nilai logaritma berikut!

a.  ⁴log 4                                  c.  ²log 1

b.  ⁶log 6                                  d.  ⁵log 1

Jawab:

a.  ⁴log 4 = 1                            c.  ²log 1 = 0

b.  ⁶log 6 = 1                            d.  ⁵log 1 = 0

b.   Sifat 2

Untuk a > 0, a ≠ 1, serta a dan n ∈ R berlaku:

alog an = n

Bukti:

Misal:

^alog aⁿ = x ⇔  a^x = aⁿ

 x = n

Maka ^alog aⁿ = n

Contoh:

Sederhanakan!

a.  ³log 3²                                            b.  ⁵log 5⁴

Jawab:

a.    ³log 3² = 2                           b.  ⁵log 5⁴ = 4

c.    Sifat 3

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R berlaku:

alog xy = alog x + alog y

Bukti:

Misal:

^alog x   = n    ⇔ aⁿ = x

^alog y   = m   ⇔  a^m  = y

^alog xy    = p ⇔ a^p = xy

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:

xy = aⁿ.a^m      ⇔ xy              = a^n+m

a^p = a^n+m       ⇔   p = n+m

Maka:

n = ^alog x, m = ^alog y dan p = ^alog xy, sehingga:

p = n+m       ⇔    ^alog xy = ^alog x + ^alog y

Contoh:

Sederhanakan logaritma berikut!

a.  ³log (3 x 27)                        b.  ²log 4 + ²log 8

Jawab:

a.  ³log (3 x 27)      = ³log 3 + ³log 27

= ³log 3 + ³log 3³

= 1 + 3 = 4                       

b.  ²log 4 + ²log 8   = ²log (4 x 8)

= ²log 32

= ² log 2⁶ = 6

d.   Sifat 4

Untuk a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0 serta a, x, dan y ∈ R, berlaku:

alog  = alog x – alog y

Bukti:

Misal:

^alog x   = n    ⇔ aⁿ = x

^alog y   = m   ⇔  a^m  = y

^alog  = p      ⇔ a^p  =

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh:

           ⇔ 

⇔  a^p   = a^n-m

⇔    p = n – m

Maka:

^alog  = ^alog x – ^alog y

Contoh:

Sederhanakan!

a.  log                              b.  ⁷log 217 – ⁷log 31

Jawab:

a.  log      = log 10 – log 100

= log 10 – log 10²

= 1 – 2 = –1

b.  ⁷log 217 – ⁷log 31    = ⁷log

= ⁷log 7

= 1

e.    Sifat 5

Untuk a > 0, a ≠ 1, a, n dan x ∈ R berlaku:

alog xn = n alog x

Bukti:

^alog xⁿ  = ^alog (x x x x x x … x x)

n  faktor

= ^alog x + ^alog x + … + ^alog x

n  faktor

^alog xⁿ = n ^alog x

Contoh:

a.  ⁴log 256                              b.  2 log 5 + 3 log 2

Jawab:

a.  ⁴log 256   = ⁴log 4⁴

= 4 x ⁴log 4

= 4 x 1 = 4

b.  2 log 5 + 2 log 2  = log 5² + log 2²

= log 25 + log 4

= log (25 x 4)

= log 100

= log 10² = 2

f.     Sifat 6

Untuk a, p > 0, dan a, p ≠ 1, serta a, p, dan x ∈ R, berlaku:

Bukti:

^alog x   = n  ⇔  x = aⁿ

 log x   = log aⁿ

⇔ log x = n log a

⇔

⇔

⇔

Jika p = x maka:

Contoh:

Jika ²log 3 = a, nyatakan logaritma-logaritma di bawah ini dalam a!

a.  ⁸log 3                                  b.  ³log 2

Jawab:

a.  ⁸log 3   =                    b.  ³log 2 =

    

g.    Sifat 7

Untuk a > 0, x > 0, y > 0, a, x, dan y ∈ R berlaku:

alog x . xlog y = alog y

Bukti:

Misal:

^alog x = p ⇔ a^p = x

^xlog y = q ⇔ x^q = y

Dari bentuk pangkat tersebut diperoleh

y = x^q   ⇔  y = (a^p)^q

⇔  y = a^pq

⇔  ^alog y = ^alog a^pq

⇔  ^alog y = pq ^alog a

⇔  ^alog y = pq

⇔  ^alog y = ^alog x . ^xlog y

Contoh:

Sederhanakan bentuk logaritma berikut!

a.  ²log 3. ³log 8                       b.  ³log 2. ²log 81

Jawab:

a.    ²log 3. ³log 8   = ²log 8

= ²log 2³

= 3

b.    ³log 2. ²log 81 = ³log 81

= ³log 3⁴

= 4

h.   Sifat 8

Untuk a, m > 0, serta a, m, n, x ∈ R, berlaku:

Bukti:

Misal:

^alog x = p  ⇔  a^p = x

 ⇔ (a^m)^q = xⁿ

⇔ a^mq = xⁿ

Dari bentuk pangkat di atas diperoleh:

xⁿ = a^mq   ⇔   (a^p)ⁿ = a^mq

⇔ a^np = a^mq  ⇔   np = mq

⇔

Contoh:

Sederhanakan bentuk logaritma berikut!

a.                    b.  

Jawab:

                           

                                              

i.      Sifat 9

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R, berlaku:

Bukti:

Misal:

^alog x = n  ⇔  aⁿ = x

 x = aⁿ  ⇔  

Contoh:

Sederhanakan bentuk logaritma berikut!

a.                                                b.

Jawab:

a.                                          b.

j.     Sifat 10

Untuk a > 0, serta a dan x ∈ R berlaku:

Bukti:

Misal:

n ^alog x = p  ⇔  ^alog xⁿ = p

  xⁿ  = a^p

 

Contoh:

Sederhanakan bentuk logaritma berikut!

a.                                                b.

Jawab:

a.                                b.

1)     

DAFTAR PUSTAKA

Fatkhul A, Kurmen, S. Teguh Arifin. 2011.  Rumus-Rumus Matematika Lengkap untuk SMU dan SMK Kelas I, II, dan III. Surabaya: Apollo.

Gumilar, Hendri Senja. 2008. Matematika 1 Kelompok Seni, Pariwisata, dan Teknologi Kerumahtanggaan untuk Kelas X SMK/MAK. Jakarta: Departemen Pendidikan Nasional.

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.